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Ancien lauréat
Bourse commémorative E.W.R. Steacie de 2002

Henri Darmon

Mathématiques

Université McGill


Henri Darmon
Henri Darmon

Que peuvent avoir en commun le spécialiste des mathématiques fondamentales Henri Darmon et les cyberacheteurs?

Ils profitent tous des caractéristiques d'une d'équation d'algèbre spéciale appelée une courbe elliptique. Pour la foule des adeptes du « cliquez et payez » ces équations sont à la base même des transactions en ligne par carte de crédit sécurisées. Pour M. Darmon, elles représentent l'accès au royaume de l'exploration mathématique.

C'est à son travail sur les courbes elliptiques que ce mathématicien de l'Université McGill doit d'être reconnu comme l'un des meilleurs jeunes théoriciens des nombres au monde.

Ses recherches sur la frontière théorique des mathématiques lui ont valu une Bourse commémorative E.W.R. Steacie de 2002 du Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie (CRSNG), l'une des plus prestigieuses distinctions honorifiques en sciences et en génie au Canada.

Les théoriciens des nombres cherchent des modèles cachés et des rapports parmi les nombres. Les nombres de base sont les nombres entiers (1, 2, 3, …) qui sont enseignés aux enfants. Mais les théoriciens des nombres explorent aussi des nombres abstraits ou imaginaires comme i, la racine carrée de -1, nombre essentiel aux équations qui décrivent l'électricité et le magnétisme.

L'outil mathématique de prédilection de M. Darmon pour trouver des solutions intéressantes aux équations de courbes elliptiques est appelé la théorie de multiplication complexe.

Exploré par le mathématicien allemand Kurt Heegner dans les années 50, cette théorie s'appuie sur la rigoureuse base mathématique - du mathématicien de l'Université de Princeton Andrew Wiles - énoncée dans sa fameuse solution de 1994 à la célèbre énigme de la théorie des nombres, vieille de 350 ans et mieux connue sous le nom de dernier théorème de Fermat.

« Les courbes elliptiques sont dotées d' une structure extrêmement riche, qui explique leur rôle central dans la théorie des nombres », précise Henri Darmon, qui a écrit l'un des meilleurs exposés sur la fameuse démonstration de Wiles.

Toujours selon M. Darmon, ce qui confère aux courbes elliptiques un tel potentiel en matière d'applications pratiques et théoriques, c'est ce qui arrive quand vous tirez une ligne entre deux points sur la courbe. Cette ligne croise la courbe en un seul troisième point, générant pour l'équation correspondante de nouvelles solutions issues des équations déjà résolues.

L'importance des courbes elliptiques en mathématiques est mise en évidence par le fait que le Clay Mathematics Institute offre un prix d'un million de dollars à quiconque pourra prouver ce que l'on appelle la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer selon laquelle il existe une recette mathématique systématique (un algorithme) menant à la découverte de toutes les solutions logiques de l'équation des courbes elliptiques.

Bien que Henri Darmon ne s'attende pas à recevoir de chèque par le prochain courrier, sa recherche a permis de découvrir une nouvelle méthode très attrayante pour résoudre les équations des courbes elliptiques.

Ses récents travaux - qui seront bientôt publiés dans le journal de mathématiques le plus renommé, Annals of Mathematics - suggèrent que la théorie de multiplication complexe puisse n'être qu'une partie d'un modèle plus général. C'est la première grande percée en matière de résolution des équations des courbes elliptiques, depuis l'approche d'Heegner.

« Mes données ont été vérifiées numériquement, par ordinateur, dans certains cas avec une grande exactitude, pour s'assurer de leur véracité au-delà de tout doute raisonnable, mais il semble que nous soyons toujours très loin d'une preuve. Je trouve tout à fait passionnant de savoir qu'il existe quelque part une théorie qui expliquerait mes observations empiriques et que cette théorie reste encore à découvrir. L'avancement des mathématiques repose sur la découverte de tels mystères. »